한강의 漢은 뜻이 없는 고유어 '한'의 음차로 보시면 되며, 고유어 '한'은 크다는 의미를 갖고 있습니다. 대전을 한밭, 추석을 한가위라고 부르는걸 잘 생각해보면 됩니다. 아래 설명에도 보시면 한이라는 음을 빌려 쓰기위해 '寒'을 쓰기도 하죠.

한국민족문화대백과사전에 아래와 같이 설명 되어 있습니다.

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『한서(漢書)』 지리지에는 대수(帶水)로 표기되어 있으며, 광개토왕릉비(廣開土王陵碑)에는 아리수(阿利水), 『삼국사기(三國史記)』의 백제건국설화에는 한수(寒水)로 되어 있다. 한강의 명칭에 ‘漢’이라는 글자를 쓴 것은 중국 문화를 도입한 이후의 일이다. ‘아리’, 즉 ‘알’은 고대에 크다거나 신성하다는 의미로 쓰였으며, ‘한’도 이와 비슷한 뜻이다.

한강이라는 명칭은 우리말 '한가람'에서 비롯하였다. 옛말에서 '한'은 '큰', '한창인'을 뜻하는 말이며, 가람은 강을 가리킨다. 즉 '큰 강'이라는 뜻. 그래서 한자 표기의 '漢'은 음차일 뿐 중국과는 관계가 없다[10]. 한강은 삼국시대 초기까지는 '대수(帶水)'[11]라 불리었고, 광개토대왕릉비에는 '아리수(阿利水)'라 기록되어 있다. 백제에서는 '욱리하(郁利河)'라 불렀다. 《삼국사기》 지리지에는 '한산하(漢山河)' 또는 '북독(北瀆)'이라 표기한 기록이 남아 있다. 한강이라는 명칭이 붙게 된 시점은 백제가 중국의 동진과 교류하기 시작한 즈음인데, 그때부터 ‘한수(漢水)’ 또는 '한강(漢江)'이라 불렀다 전해진다.

[10] 그런데 어떤 사람들은 漢을 韓으로 바꾸라며 태클을 걸기도 한다. '韓國에 웬 漢江이냐, 韓江이 되어야 하는 게 아니냐.'라는 거다. 그런데 사실 韓江도 중국에 있다. 사실 漢이나 韓이나 다 중국사의 국가에서 유래한 글자들이며 둘 다 고대 한국어의 고유어를 음차하는 용도로 차용된 글자들일 뿐이다. 굳이 명칭을 韓江으로 변경하려면 하천법 제7조에 따라 국가하천인 한강은 환경부장관이 그 명칭을 지정할 수 있다.

[11] 눈썰미가 좋은 사람은 눈치챘겠지만, 여기에서의 한자 '대(帶)' 자는 대방군의 '대'와 같다.

나무위키에서는 이렇게 설명하고 있네요 @.@